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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.8.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x \leq 0 \\ x^{2}+1 & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x \leq 0 \\ x^{2}+1 & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 1 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
\( \lim_{{x \to 0^-}} 1 = 1 \)
\( \lim_{{x \to 0^+}} (x^2 + 1) = 1 \)
Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $1$.
c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
Para el límite por izquierda cuando \( h \to 0^- \):
\( \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{1 - 1}{h} = 0 \)
Aclaro por las dudas, esto NO es una indeterminación de tipo "cero sobre cero". La indeterminación es tener "algo que tiende a cero" dividido "algo que tiende a cero". Acá tenemos algo que vale cero (el cero posta) dividido algo que "tiende a cero", eso vale simplemente cero.
Para el límite por derecha cuando \( h \to 0^+ \):
\( \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^2 + 1 - 1}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^2}{h} = 0 \)
Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen $0$, por lo tanto,
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 \)
Esto significa que $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 0$