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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.
d) f(x)={1 si x≤0x2+1 si x>0;x0=0f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x \leq 0 \\ x^{2}+1 & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=1 f(0) = 1 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 00. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:
lim⁡x→0−1=1 \lim_{{x \to 0^-}} 1 = 1
lim⁡x→0+(x2+1)=1 \lim_{{x \to 0^+}} (x^2 + 1) = 1

Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale 11.

c) El límite cuando xx tiende a 00 existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 : Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

Nuevamente, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

Para el límite por izquierda cuando h→0− h \to 0^- :

lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0−1−1h=0 \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{1 - 1}{h} = 0

Aclaro por las dudas, esto NO es una indeterminación de tipo "cero sobre cero". La indeterminación es tener "algo que tiende a cero" dividido "algo que tiende a cero". Acá tenemos algo que vale cero (el cero posta) dividido algo que "tiende a cero", eso vale simplemente cero.

Para el límite por derecha cuando h→0+ h \to 0^+ :

lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=lim⁡h→0+h2+1−1h=lim⁡h→0+h2h=0 \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^2 + 1 - 1}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h^2}{h} = 0

Los límites por derecha y por izquierda coinciden y valen 00, por lo tanto, f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=0 f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 Esto significa que ff es derivable en x=0x=0 y f′(0)=0f'(0) = 0
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VICTORIA
3 de abril 9:23
Hola Flor, en la parte de derivabilidad cuando calculas lim por izquierda y por derecha, a h2 +1 se le resta 1 porque f(0) es 1 ?
0 Responder
Flor
PROFE
3 de abril 17:12
@VICTORIA Claro, como f(0)f(0) vale 11 -> Cuando tomamos por izquierda, f(h)f(h) vale 11, por eso nos queda f(h)−f(0)=1−1f(h) - f(0) = 1 - 1 y cuando lo tomamos por derecha, f(h)f(h) vale h2+1h^2 + 1, por eso nos queda f(h)−f(0)=h2+1−1f(h) - f(0) = h^2 + 1 - 1
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